数学基础

本节总结了本书中涉及到的有关线性代数、微分和概率的基础知识。为避免赘述本书未涉及的数学背景知识，本节中的少数定义稍有简化。

线性代数

以下分别概括了向量、矩阵、运算、范数、特征向量和特征值的概念。

向量

本书中的向量指的是列向量。一个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ 的表达式可写成

$$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix},$$

其中 $x_1, \ldots, x_n$ 是向量的元素。我们将各元素均为实数的 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ 记作 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 或 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$。

矩阵

一个 $m$ 行 $n$ 列矩阵的表达式可写成

$$\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{mn} \end{bmatrix},$$

其中 $x_{ij}$ 是矩阵 $\boldsymbol{X}$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素（$1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$）。我们将各元素均为实数的 $m$ 行 $n$ 列矩阵 $\boldsymbol{X}$ 记作 $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}$。不难发现，向量是特殊的矩阵。

运算

设 $n$ 维向量 $\boldsymbol{a}$ 中的元素为 $a_1, \ldots, a_n$，$n$ 维向量 $\boldsymbol{b}$ 中的元素为 $b_1, \ldots, b_n$。向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的点乘（内积）是一个标量：

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n.$$

设两个 $m$ 行 $n$ 列矩阵

$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{bmatrix}.$$

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的转置是一个 $n$ 行 $m$ 列矩阵，它的每一行其实是原矩阵的每一列： $\boldsymbol{A}^\top = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}.$

两个相同形状的矩阵的加法实际上是按元素做加法：

$$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \dots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}.$$

我们使用符号 $\odot$ 表示两个矩阵按元素做乘法的运算：

$$\boldsymbol{A} \odot \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \dots & a_{1n} b_{1n} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \dots & a_{2n} b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & \dots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}.$$

定义一个标量 $k$。标量与矩阵的乘法也是按元素做乘法的运算：

$$k\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{21} & \dots & ka_{m1} \\ ka_{12} & ka_{22} & \dots & ka_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{1n} & ka_{2n} & \dots & ka_{mn} \end{bmatrix}.$$

其它例如标量与矩阵按元素相加、相除等运算与上式中的相乘运算类似。矩阵按元素开根号、取对数等运算也即对矩阵每个元素开根号、取对数等，并得到和原矩阵形状相同的矩阵。

矩阵乘法和按元素的乘法不同。设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 行 $p$ 列的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 为 $p$ 行 $n$ 列的矩阵。两个矩阵相乘的结果

$$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ip} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1j} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2j} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p1} & b_{p2} & \dots & b_{pj} & \dots & b_{pn} \end{bmatrix}$$

是一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，其中第 $i$ 行第 $j$ 列（$1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$）的元素为

$$a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{ip}b_{pj} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}.$$

范数

设 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ 中的元素为 $x_1, \ldots, x_n$。向量 $\boldsymbol{x}$ 的 $L_p$ 范数为

$$\|\boldsymbol{x}\|_p = (\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}.$$

例如，$\boldsymbol{x}$ 的 $L_1$ 范数是该向量元素绝对值的和：

$$\|\boldsymbol{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|.$$

而 $\boldsymbol{x}$ 的 $L_2$ 范数是该向量元素平方和的平方根：

$$\|\boldsymbol{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.$$

我们通常用 $|\boldsymbol{x}|$ 指代 $|\boldsymbol{x}|_2$。

设 $\boldsymbol{X}$ 是一个 $m$ 行 $n$ 列矩阵。矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的 Frobenius 范数为该矩阵元素平方和的平方根：

$$\|\boldsymbol{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2},$$

其中 $x_{ij}$ 为矩阵 $\boldsymbol{X}$ 在第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

特征向量和特征值

对于一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵 $\boldsymbol{A}$，假设有标量 $\lambda$ 和非零的 $n$ 维向量 $\boldsymbol{v}$ 使

$$\boldsymbol{A} \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v},$$

那么 $\boldsymbol{v}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量，标量 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{v}$ 对应的特征值。

微分

我们在这里简要介绍微分的一些基本概念和演算。

导数和微分

假设函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 的输入和输出都是标量。函数 $f$ 的导数

$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h},$$

且假定该极限存在。给定 $y = f(x)$，其中 $x$ 和 $y$ 分别是函数 $f$ 的自变量和因变量。以下有关导数和微分的表达式等价：

$$f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} f(x) = Df(x) = D_x f(x),$$

其中符号 $D$ 和 $d/dx$ 也叫微分运算符。常见的微分演算有 $DC = 0$（$C$ 为常数）、$Dx^n = nx^{n-1}$（$n$ 为常数）、$De^x = e^x$、$D\ln(x) = 1/x$ 等。

如果函数 $f$ 和 $g$ 都可导，设 $C$ 为常数，那么

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx} [Cf(x)] &= C \frac{d}{dx} f(x),\\ \frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] &= \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x),\\ \frac{d}{dx} [f(x)g(x)] &= f(x) \frac{d}{dx} [g(x)] + g(x) \frac{d}{dx} [f(x)],\\ \frac{d}{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] &= \frac{g(x) \frac{d}{dx} [f(x)] - f(x) \frac{d}{dx} [g(x)]}{[g(x)]^2}. \end{aligned}$$

如果 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 都是可导函数，依据链式法则，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}.$$

泰勒展开

函数 $f$ 的泰勒展开式是

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,$$

其中 $f^{(n)}$ 为函数 $f$ 的 $n$ 阶导数（求 $n$ 次导数），$n!$ 为 $n$ 的阶乘。假设 $\epsilon$ 是个足够小的数，如果将上式中 $x$ 和 $a$ 分别替换成 $x+\epsilon$ 和 $x$，我们可以得到

$$f(x + \epsilon) \approx f(x) + f'(x) \epsilon + \mathcal{O}(\epsilon^2).$$

由于 $\epsilon$ 足够小，上式也可以简化成

$$f(x + \epsilon) \approx f(x) + f'(x) \epsilon.$$

偏导数

设 $u$ 为一个有 $n$ 个自变量的函数，$u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，它有关第 $i$ 个变量 $x_i$ 的偏导数为

$$\frac{\partial u}{\partial x_i} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i+h, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}.$$

以下有关偏导数的表达式等价：

$$\frac{\partial u}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{x_i} = f_i = D_i f = D_{x_i} f.$$

为了计算 $\partial u/\partial x_i$，我们只需将 $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$ 视为常数并求 $u$ 有关 $x_i$ 的导数。

梯度

假设函数 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 的输入是一个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top$，输出是标量。函数 $f(\boldsymbol{x})$ 有关 $\boldsymbol{x}$ 的梯度是一个由 $n$ 个偏导数组成的向量：

$$\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\bigg]^\top.$$

为表示简洁，我们有时用 $\nabla f(\boldsymbol{x})$ 代替 $\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x})$。

假设 $\boldsymbol{x}$ 是一个向量，常见的梯度演算包括

$$\begin{aligned} \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{x} &= \boldsymbol{A}, \\ \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{A} &= \boldsymbol{A}, \\ \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} &= (\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^\top)\boldsymbol{x},\\ \nabla_{\boldsymbol{x}} \|\boldsymbol{x} \|^2 &= \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{x} = 2\boldsymbol{x}. \end{aligned}$$

类似地，假设 $\boldsymbol{X}$ 是一个矩阵，那么 $\nabla_{\boldsymbol{X}} \|\boldsymbol{X} \|_F^2 = 2\boldsymbol{X}.$

黑塞矩阵

假设函数 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 的输入是一个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top$，输出是标量。假定函数 $f$ 所有的二阶偏导数都存在，$f$ 的黑塞矩阵 $\boldsymbol{H}$ 是一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵：

$$\boldsymbol{H} = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix},$$

其中二阶偏导数

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial }{\partial x_j} \left(\frac{\partial f}{ \partial x_i}\right).$$

概率

最后，我们简要介绍条件概率、期望和均匀分布。

条件概率

假设事件 $A$ 和事件 $B$ 的概率分别为 $\mathbb{P}(A)$ 和 $\mathbb{P}(B)$，两个事件同时发生的概率记作 $\mathbb{P}(A \cap B)$ 或 $\mathbb{P}(A, B)$。给定事件 $B$，事件 $A$ 的条件概率

$$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}.$$

也就是说，

$$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B \mid A).$$

当满足

$$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)$$

时，事件 $A$ 和事件 $B$ 相互独立。

期望

随机变量 $X$ 的期望（或平均值）

$$\mathbb{E}(X) = \sum_{x} x \mathbb{P}(X = x).$$

均匀分布

假设随机变量 $X$ 服从 $[a, b]$ 上的均匀分布，即 $X \sim U(a, b)$。随机变量 $X$ 取 $a$ 和 $b$ 之间任意一个数的概率相等。

小结

• 本节总结了本书中涉及到的有关线性代数、微分和概率的基础知识。